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Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l'école primaire

Temps de lecture : 13 minutes
Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l'école primaire

Une lecture didactique et pédagogique de la circulaire concernant l’enseignement du calcul, du BO spécial n°3 du 26 avril 2018. Pour ne pas perdre le sens…

Il est bien souvent préférable de se reporter aux textes d’origine pour avoir un avis plutôt que de s’en tenir à répéter des propos entendus si l’on ne veut pas diffuser trop vite des commentaires erronés ou des opinions généralement subjectives et perpétuer des omissions volontaires ou non. C’est ce que j’ai fait pour vous proposer les lignes qui suivent et ce que je vous invite à faire en lisant la note de service à propos du calcul.

Cette note s’appuie sur un rapport de Messieurs Cédric Villani et Charles Torossian, remis quelques mois plus tôt et qui comporte 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques. Je reviendrai à ce rapport dans les dernières lignes.

Dès l’introduction de cette note de service, le ton est donné : « Il ne s'agit évidemment pas de se précipiter à poser les opérations, sans compréhension ou contexte, mais plutôt d'explorer des situations qui donnent du sens aux actions liées aux quatre opérations, de les mettre en action, puis d'évoluer progressivement vers les écritures mathématiques. [...] Cette mise en place est fondamentale et il faut prendre le temps nécessaire pour installer les quatre opérations en alternant le travail sur le sens (comprendre pourquoi on le fait, le mettre en actes puis en mots) et celui sur l'acquisition nécessaire des automatismes. » Il est donc bien indiqué que l’acquisition des techniques ne peut se faire sans compréhension des situations qui donnent du sens. Les situations problèmes.

Par la suite, plusieurs éclairages permettent de préciser cet enseignement du calcul.

  • Un éclairage didactique

De nombreux éléments didactiques sont donnés dans le texte, loin d’être des éléments de formation, ils permettent quand même de préciser les conditions d’acquisition de cet apprentissage. « Il convient de ne pas confondre l'opération mathématique, la symbolisation et l'algorithme opératoire (…). 
À travers ces jeux ou problèmes qui amènent des décompositions et recompositions, les élèves mettent en œuvre le processus d'itération de l'unité (…) qui donne du sens à la relation d'ordre entre les nombres (…) et contribue à construire l'aspect ordinal des nombres.
- le sens des opérations : mentalement, en ligne ou en colonne, ajouter deux nombres à trois chiffres ne peut être réussi si par ailleurs on ne sait pas ce que signifie le verbe « ajouter » et il en est de même pour les autres opérations ;
- des connaissances plus ou moins spécifiques du mode de calcul choisi : pour du calcul mental ou en ligne, les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition et de la multiplication, la distributivité de la multiplication sur l'addition, sont indispensables ; pour du calcul posé, un algorithme propre à chaque opération doit être parfaitement maîtrisé.
- La justification mathématique de la pertinence des algorithmes opératoires est d'une difficulté inégale selon l'opération :
- pour l'addition, la compréhension de l'algorithme relève stricto sensu de la compréhension de la numération décimale … ;
- pour la soustraction, si c'est le choix du cassage de l'unité de numération supérieure qui est fait, comme pour l'addition le maître doit justifier l'algorithme par l'utilisation de matériel …
- pour la division, une explication orale appuyée sur une écriture en ligne est possible pour une situation où les nombres sont petits et bien choisis …

  • Un éclairage pédagogique

Si la préparation d’une séquence pédagogique nécessite, on vient de le voir, de s’appuyer sur la didactique, l’organisation pédagogique des enseignements est également essentielle. Ainsi au fil du texte peut-on lire :

« Comme tous les apprentissages, celui du calcul demande du temps, pour découvrir, pour chercher, pour s'approprier, pour mémoriser, pour s'entraîner. Il s'agit donc d'y consacrer le temps nécessaire ».

En maternelle, « Toutes les occasions doivent être saisies (ou provoquées) afin de faciliter la mémorisation de la suite orale. La récitation collective comme les récitations individuelles doivent être encouragées. La mémorisation de comptines peut y contribuer. »
A propos de la mémorisation des résultats, elle « est un processus lent qui s'étale sur plusieurs années. (…) une programmation structurée, alliant rythme assez soutenu et réactivations très fréquentes est nécessaire. »
A propos du calcul mental « Que ce soit sous forme d'activité décrochée ou bien intégrée, oralement, sur l'ardoise, sur feuille ou sur le cahier de brouillon, avec un support oral ou écrit, le calcul mental doit faire l'objet d'une pratique quotidienne moyenne d'au moins 15 minutes. …».
A propos du calcul posé « une fois les principes de fonctionnement d'un algorithme d'une opération posée acquis par les élèves, le cadre privilégié pour l'entraînement à la mise en œuvre de cet algorithme est celui de la résolution de problèmes. Il faut ainsi éviter la pratique répétée d'exercices techniques sur des temps excessivement longs. … ».

  • Un éclairage par l’exemple

Plusieurs exemples de situations illustrent les propos. Ce ne sont bien évidemment pas les situations à mettre en œuvre obligatoirement ni à privilégier de façon prioritaire mais elles facilitent la compréhension et donnent la logique dans laquelle s’inscrivent ces propositions.
En maternelle « Des jeux (par groupes de deux ou trois) ou la résolution de petits problèmes dont l'énoncé est oralisé par le maître en s'appuyant sur un support toujours concret et tangible, sont proposés : aller chercher une quantité donnée d'objets, aller chercher le nombre nécessaire d'objets pour compléter une boîte dont le nombre de cases est donné ou connu. (…) D'autres activités, comme le repérage de la date sur un calendrier, permettent de se familiariser avec cette suite de nombres.
A propos de la mémorisation « Par exemple, le résultat du produit 6x8 étant à apprendre, le maître demande d'abord à tous les élèves de chercher plusieurs façons de calculer 6x8 (6x4+6x4=24+24=48 ; 6+6+6+6+6+6+6+6=12, 18, 24...48 ; 8+8+8+8+8+8=16+16+16=32+16=48 ; 6x8=5x8+1x8 ; etc.), puis note au tableau toutes les procédures trouvées par les élèves, puis fait noter dans le cahier de référence…
».
A propos du choix du calcul, il n'y a pas lieu d'opposer les différents modes de calcul. Chacun doit faire l'objet d'un entraînement spécifique. L'élève, lorsqu'il doit produire un résultat, par exemple pour une résolution de problèmes, doit pouvoir choisir le mode de calcul qui lui paraît, à lui, dans cette situation, avec ses connaissances, le plus sûr et/ou le plus rapide et/ou le plus facile.

Ainsi, cette note de service, loin de révolutionner l’enseignement du calcul, permet d’en repréciser les points d’appui. D’abord que la résolution de problèmes est au centre de l'activité mathématique mais qu’elle ne peut se passer de la compréhension du nombre, de ses propriétés, du sens des opérations et de l’acquisition progressive du calcul. Ensuite, que pour cet enseignement, un savoir solide en didactique des mathématiques et une pédagogie éprouvée et réfléchie sont indispensables.

Pour faciliter cela, il est intéressant de revenir sur le rapport de Messieurs Cédric Villani et Charles Torossian qui signale dans les premières pages que le travail d’équipe est une solution sérieuse. « Les réussites observées viennent en général d’un travail collaboratif (…) Apprendre de ses pairs, par l’échange et l’explicitation partagée de ses difficultés, rassure, renforce les ambitions, et fait disparaître certains complexes. (…) La mission recommande de développer davantage d’échanges au sein des équipes, autour de questions pédagogiques, didactiques mais surtout disciplinaires … ».

 

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